Beliebige Großkreisanordnung

Frage:

 Wie verteilt man bei der Erforschung eines kugelförmigen Planeten n Satellitenbahnen so, daß der maximal Abstand eines Oberflächenpunktes von der nächsten Satellitenbahn möglichst klein wird ?

Vermutung:

 In einem durch n Großkreise bestimmten Mosaik auf der Einheitskugel
ist der größte Inkreisradius stets >= pi/2n, und Gleichheit tritt
genau im Falle des regulären Mosaiks {2,2n} ein, d.h. wenn die
Großkreise durch ein festes antipodisches Punktepaar gehen und "gleichmäßig" verteilt sind.

andere Formulierung:

 Der Radius des (kleinsten) Umkreises von n Punkten der elliptischen
Ebene (d.i. die Menge aller antipodischen Punktepaare auf der Kugel)
ist stets <= π/2 * ( 1 - 1/n ), und Gleichheit tritt genau dann ein,
wenn die Punkte äquidistant auf einer Geraden verteilt sind.

Bemerkungen

  • n Grosskreise zerlegen die Kugeloberfläche zumindest 2n Polygone
  • Der Inkreisradius eines sph. Dreiecks ist gegeben durch sin r = S/(2*sin s )
  • Der Inkreisradius eines Kugelzweiecks ist gegeben durch den Winkel α an der Spitze
  • Die Fläche eines Kugelzweiecks beträgt 2*α

    • Literatur:

  • Johann Linhart: "Eine extremale Verteilung von Grosskreisen", Elemente der Mathematik 29 (1974), S. 57-80
  • Vera Rosta: "An Extremal Arrangement of three Great Circles on the Sphere", Mat. Lapok 24 (1973)