Einige Maßzahlen konvexer Körper

Jeder konvexe Körper ${\mathit K} \in {\mathcal K}$ läßt sich auf verschiedene Weisen darstellen, z.B. durch die Angabe aller Punkte, die er enthält oder durch eine ausgezeichnete Eigenschaft, wie zB. bei der Kugel. Von besonderem Interesse sind Darstellungen konvexer Körper durch analytische Funktionen, da man mit ihnen in angenehmer Weise operieren kann.
So existiert z.B. zu jedem kompakten, konvexen Körper K ein nichtnegatives, positiv homogenes und subadditives Funktional $g({\mathbf x}): {\rm I\mkern-3mu R}^d \to {\rm I\mkern-3mu R}$, für das gilt:

$${\mathit K} = \{ {\mathbf x} \in {\rm I\mkern-3mu R}^d : g({\mathbf x}) \leq 1 \}$$ (3.1)

Dieses g heißt die Distanzfunktion des Körpers K. Die genannten Bedingungen besagen, daß :

• $g({\mathbf x}) \geq 0 \quad \forall {\mathbf x} \neq {\mathit o}$ [Nichtnegativität]
• $g(\lambda \cdot {\mathbf x}) = \lambda \cdot g({\mathbf x}) \quad \forall \lambda \geq 0$ [Homogenität]
• $g({\mathbf x}+{\mathbf y}) \leq g({\mathbf x})+g({\mathbf y})$     [Subadditivität].

Interessanter als die Distanzfunktion ist die Stützfunktion ${\mathit h}$ eines kompakten, konvexen Körpers. Sie kann definiert werden als die Distanzfunktion des zu K dualen Körpers ${\mathit K}^*$ (II.2). Also ist ${\mathit h}({\mathbf u})$ diejenige Funktion, für die gilt:

$${\mathit K}^* = \{{\mathbf u} \in {\rm I\mkern-3mu R}^d : {\mathit h}({\mathbf u}) \leq 1 \}$$ (3.2)

Aus der Definition der Dualmenge ${\mathit K}^*$ als $\{{\mathbf x} : {\mathbf x} \cdot {\mathbf y} \leq 1 \; \forall {\mathbf y} \in {\mathit K} \}$ ( s II.2) folgt:

$${\mathit h}({\mathbf u}) = \sup_{{\mathbf x} \in {\mathit K}} {\mathbf x} \cdot {\mathbf u}.$$ (3.3)

Eine Hyperebene ${\mathcal H}$ heißt Stützhyperebene eines konvexen Körpers K, wenn K ganz in einem der durch sie erzeugten Halbräume liegt und wenn ${\mathcal H} \cap {\mathit K} \neq \emptyset$ ist.
Besitzt ein Körper die Stützfunktion ${\mathit h}$, so besitzt die Stützhyperebene ${\mathcal H}$ mit Normalvektor ${\mathbf u}$ die Darstellung:

$$H({\mathbf u}) = \{{\mathbf x} : {\mathbf x} \cdot {\mathbf u} = {\mathit h}({\mathbf u})\}.$$ (3.4)

Weiteres über Distanz- und Stützfunktion findet man in Lehrbüchern der Konvexgeometrie, zB. in [40] oder in [51].
Mit Hilfe der Stützfunktion können wir nun die Breite $b({\mathbf u})$ eines konvexen Körpers K in Richtung ${\mathbf u}$ verstehen als:

$${\mathit b}({\mathbf u}) = {\mathit h}({\mathbf u}) + {\mathit h}(-{\mathbf u})$$ (3.5)

Mittelt man dieses Funktional über alle Richtungen ${\mathbf u}$, das heißt, bildet man das Integral über die Oberfläche $\omega({\mathbf u})$ der $S^{d-1}$, so erhält man die mittlere Breite $\overline{b}$:

$$\overline{b}({\mathbf u}) := \frac{1}{d \cdot \omega_d} \cd... ... \int_{S^{d-1}} b({\mathbf u}) {\mathit d}\omega({\mathbf u})$$ (3.6)

Ein weiterer zentraler Begriff in der Konvexgeometrie ist der Begriff des Parallelkörpers. Unter dem Parallelkörper $K_{\rho}$ im Abstand $\rho$ verstehen wir die Minkowski-Summe des Körpers K mit der Kugel $B(\rho)$, die den Radius $\rho$ besitzt. Die Minkowski-Summe zweier Mengen A und B ist definiert als:

$$A + B := \{ a+b : a \in A, b \in B \}$$ (3.7)

Das bedeutet, daß ${\mathit K}_{\rho} = {\mathit K} + B_{\rho} = \bigcup_{{\mathbf x} \in {\mathit K}} B({\mathbf x},\rho)$ ist. Das heißt:
wir schlagen um jeden Punkt ${\mathbf x}$ des Körpers ${\mathcal K}$ eine Kugel vom Radius $\rho$ und bilden die konvexe Hülle der Vereinigung dieser Kugeln.
Der Parallelkörper $B_r$ zur Einheitskugel, der den Abstand $\rho$ besitzt, ist wiederum eine Kugel, diesmal mit Radius $1+\rho$.
Das Volumen $V({\mathit K}_{\rho} )$ eines Parallelkörpers ist ein Polynom in $\rho$, wie man aus der Steiner'schen Formel ersieht: [$\rho > 0$]

$$V({\mathit K}_{\rho}) = \sum_{\nu = 0}^d { d \choose \nu } W_{\nu}^{(d)} ({\mathit K}) \cdot \rho^{\nu}$$ (3.8)

In dieser Formel bezeichnet $W_{\nu}^{(d)}$ das ''$\nu$-te Quermaßintegral der Dimension d '' . Da in der weiteren Arbeit dieses ansonsten sehr wichtige Funktional nicht mehr auftaucht, können wir auf eine exakte Definition verzichten. Eine solche findet man zum Beispiel in [51].