Approximierbarkeit konvexer Körper

In III.2 bewiesen wir, daß es zu jedem konvexen Körper K ein Polyeder mit beliebig kleinem Hausdorffabstand gibt. Nichts hingegen wurde ausgesagt über die Struktur des Polyeders. Klarerweise wird die Approximation des konvexen Körpers K durch das bestapproximierende Polyeder ${\mathit P}_n$ mit n Flächen (oder n Ecken) für wachsendes n immer besser, da dann der Hausdorffabstand für wachsendes n nach Null strebt.
Die Approximation erfolgt dabei mit Größenordnung $\frac{1}{n}$, das heißt, daß sich $n \cdot \eta({\mathit K},{\mathit P}_n)$ einem Grenzwert $1/A$ nähert.

Dieses A wollen wir die Approximierbarkeit von K nennen. Dieser Begriff wurde von Fejes-Tóth in [30] eingeführt, und von R.Schneider in [73] umfassend behandelt. Er erhält dabei den folgenden Satz:
Es sei $F$ eine geschlossene konvexe Hyperfläche der Differentiationsklasse ${\mathbf{\mathit C}}^3$ (dh. $F$ ist der Rand eines kompakten konvexen Körpers und ist mindestens dreimal stetig differenzierbar). $\kappa$ bezeichne die (positive) Gauß'sche Krümmung der Fläche $F$, ${\mathit d}F$ sei ihr Oberflächenelement in der zweiten Grundform.
Für $\epsilon > 0$ sei $m(F,\epsilon)$ die kleinste natürliche Zahl mit der Eigenschaft, daß es ein der Fläche F eingeschriebenes konvexes Polytop P mit m Ecken gibt, für das $\eta(F,\partial {\mathit P}) \leq \epsilon$ ist.
Ist ferner $\vartheta_d$ die Dichte der dünnsten Überdeckung des d-dimensionalen Raumes durch Einheitskugeln, so gilt :

$$\lim_{\epsilon \to 0^+} m(F,\epsilon) \cdot \epsilon^{\frac... ...d-1}}{\kappa_{d-1}} \cdot \int_F \sqrt{\kappa} {\mathit d}F$$ (3.20)

Der exakte Wert von $\vartheta_2$ ist bekannt: $\vartheta_2 = 2\pi/\sqrt{27}$ [72]. Daher können wir für d = 3 schreiben:

$$\frac{1}{A} = \lim_{m \to \infty} m \cdot \eta(F,\partial {... ... \frac{1}{\sqrt{27}} \cdot \int_F \sqrt{\kappa} {\mathit d}F$$ (3.21)

Der Satz besagt, daß man die Approximierbarkeit eines konvexen Körpers allein aus seiner Gauß'schen Krümmung berechnen kann. Weiters folgt daraus, daß unter allen konvexen Körpern die Kugel am schlechtesten approximierbar ist.
Der Beweis des Satzes bedarf vieler technischer Hilfsmittel. Seine Grundidee ist die, die Fläche durch sogenannte II-geodätische Kreise, das sind Kreise in der durch die zweite Fundamentalform induzierten Metrik, zu überdecken.
Bekanntlich läßt sich die Gauß'sche Krümmung berechnen durch:

$$\kappa = \frac { b_{{\mathbf u}{\mathbf u}} \cdot b_{{\math... ...}{\mathbf v}} - g_{{\mathbf u}{\mathbf v}} ^2 } = \frac{b}{g}$$

Die auftretenden Koeffizienten sind dabei die Koeffizienten der ersten Grundform [$g_*$] sowie die der zweiten Grundform [$b_*$].
Ist ${\mathit F} = {\mathit F}({\mathbf u},{\mathbf v})$ eine Parameterdarstellung der Fläche F, so lassen sich diese Koeffizienten errechnen aus :

$$g_{{\mathbf u}{\mathbf u}} = \frac{\partial {\mathit F}}{\p... ...al^2 {\mathit F}}{\partial {\mathbf u} \partial {\mathbf u}})$$

$$g_{{\mathbf u}{\mathbf v}} = \frac{\partial {\mathit F}}{\p... ...al^2 {\mathit F}}{\partial {\mathbf u} \partial {\mathbf v}})$$

$$g_{{\mathbf v}{\mathbf v}} = \frac{\partial {\mathit F}}{\p... ...al^2 {\mathit F}}{\partial {\mathbf v} \partial {\mathbf v}})$$

Ist ${\mathit C}$ eine Kurve in F, so ist ihre II-Länge gegeben durch das Integral: $L_{II}({\mathit C})= \int_0^1 \sqrt{ b_{{\mathbf u}{\mathbf u}}{\mathit d}{\mat... ...athbf v}{\mathbf v}}{\mathit d}{\mathbf v}{\mathit d}{\mathbf v} } {\mathit d}t$ geeignet parametrisiet: ${\mathit C} = ({\mathbf u}(t),{\mathbf v}(t))$.,
Sind zwei Punkte ${\mathbf x}$ und ${\mathbf y}$ auf F gegeben, so definieren mit uns die II-Metrik $\delta$ als das Infimum über die II-Länge aller Kurven ${\mathit C}$, die ${\mathbf x}$ und ${\mathbf y}$ verbinden. Damit können wir eine II-Kugel um ${\mathbf x}$ mit Radius $\rho$ definieren durch $\{{\mathbf y} \in {\mathit F}: \delta ({\mathbf x},{\mathbf y}) \leq \rho \}$.
Bezeichnet man mit $k({\mathit F},\rho)$ die kleinste natürliche Zahl, die eine Überdeckung von F durch derartige Kreise zuläßt, so gilt für $0 < \lambda < 1$ und für genügend kleines $\epsilon > 0$: ([73], Hilfssatz 2).

$$k({\mathit F},\lambda^{-1} \cdot \sqrt{ 2\epsilon } ) \leq... ...lon) \leq k({\mathit F},\lambda \cdot \sqrt{ 2\epsilon } )$$ (3.22)

Der Beweis der linken Ungleichung geht von der Fläche F und einem ''passenden'' Polytop aus. Man betrachtet dann die zu einer Tangentialebene parallele Ebene im Abstand $\epsilon$ und zeigt, daß der Punkt, an den die Ebene gelegt wurde, in einer II-Kugel mit Radius $\lambda \cdot \sqrt{ 2\epsilon }$ um einen Eckpunkt des Polytopes liegen muß.
In umgekehrter Richtung gibt man sich eine Überdeckung durch m II-Kugeln vor, bildet die konvexe Hülle der Mittelpunkte und zeigt auf indirekte Weise, daß dieses Polytop P einen genügend kleinen Abstand $\eta({\mathit F},\partial {\mathit P})$ besitzt.

Der zentrale Beweisschritt des Satzes liegt in dem Lemma:
Ist $A_{II}$ (M) das (d-1)-dimensionale Volumen einer offenen Teilmenge $M \subset {\mathit F}$ bezüglich der durch die zweite Grundform induzierten Metrik, und ist $A_{II} = A_{II}({\mathit F})$, so gilt [73,Hilfssatz 4]:

$$\lim_{\rho \to 0} k({\mathit F},\rho) \cdot \kappa_{d-1} \cdot \rho^{d-1} = \vartheta_{d-1} \cdot A_{II}.$$

Mit diesen Elementen kann der Beweis vervollständigt werden:
Zunächt bemerken wir, daß $A_{II} = \int_{\mathit F} \sqrt{b} {\mathit dF} = \int_{\mathit F} \sqrt{\kappa} \cdot sqrt{g}{\mathit dF} = \int_{\mathit F} \sqrt{\kappa} {\mathit dF}.$ Sodann gilt für $\lambda < 1$ die Gleichungskette (s. Lemma und Hilfssatz 2):

$$\lambda^{d-1} \cdot 2^{-(d-1)/2} \cdot \kappa^{-1}_{d-1} \cdot \vartheta_{d-1} \cdot A_{II} =$$

$$\lambda^{d-1} \cdot 2^{-(d-1)/2} \cdot \lim_{\rho \to 0} k({\mathit F},\rho) \cdot \rho^{d-1}$$

$$\leq \liminf_{\epsilon \to 0^+} m(F,\epsilon) \cdot \epsil... ...sup_{\epsilon \to 0^+} m(F,\epsilon) \cdot \epsilon^{(d-1)/2}$$

$$\leq \lambda^{-(d-1)} \cdot 2^{-(d-1)/2} \cdot \lim_{\rho \to 0} k({\mathit F},\rho) \cdot \rho^{d-1} =$$

$$= \lambda^{-(d-1)} \cdot 2^{-(d-1)/2} \cdot \kappa^{-1}_{d-1} \cdot \vartheta_{d-1} \cdot A_{II} =: K.$$

Aus $K \leq \underline{lim} \leq \overline{lim} \leq K$ und aus $A_{II} = \int_{\mathit F} \sqrt{\kappa}{\mathit dF}$ folgt für $\lambda \to 1$ die Behauptung des Satzes $\diamondsuit$
In [37] wird ein analoger Satz für die symmetrische Differenzmetrik bewiesen. Bis auf geänderte Konstante wird auch dort die Approximationsgeschwindigkeit von $n^{-2/(d-1)}$ erhalten.