Problemstellung und Definitionen

Im Jahre 1930 entdeckte der Biologe Tammes [83], daß sich auf Pollenkörnern die Austrittsöffnungen der Pflanzenkeime so anordnen, daß der Minimalabstand zwischen je zwei von ihnen möglichst groß wird [''Tammes'sches Problem'' ] [ s.29,30,63,83].
Die zugrundeliegende Fragestellung lautet: Wie kann man auf der Kugel n Punkte so verteilen, daß der Minimalabstand zwischen je zwei von ihnen möglichst groß wird ?
Umgekehrt kann man sich die Frage stellen: Wie kann man auf der Kugel n Punkte so verteilen, daß der (sphärische) Abstand von jedem beliebigen Punkt der Kugel zu einem der gegebenen Punkte möglichst klein wird ?
Der sphärische Minimalabstand in der ersten Fragestellung sei $2 \rho$. Dann können wir um jeden der n Punkte einen (offenen) Kreis mit Radius $\rho$ legen, sodaß niemals zwei dieser Kreise einen inneren Punkt gemeinsam haben. Ein beliebiger Punkt der Kugel kann dann zu höchstens einem Kreis gehören. Beim zweiten Problem können wir um jeden der n Punkte einen (abgeschlossenen) Kreis mit Radius $\rho$ ziehen, sodaß jeder Punkt der Kugeloberfläche mindestens einem der Kreise angehört. Auf der Sphäre heißt eine Menge von (offenen) Kreisen Unterdeckung der Sphäre, wenn jeder Punkt der Sphäre höchstens einem Kreis angehört. Eine Menge von (abgeschlossenen) Kreisen auf der Sphäre heißt Überdeckung der Sphäre, wenn jeder Punkt der Sphäre zu mindestens einem Kreis gehört. Um die Dichte einer Lagerung, das heißt die Dichte einer Unter- oder einer Überdeckung, zu berechnen, berechnen wir die Summe der Oberflächen der Kreise der Lagerung und dividieren dann durch die Gesamtoberfläche der Kugel, das ist $4\rho$. s.[29] Da sich der Inhalt einer Kugelkappe mit Radius $\rho$ ausdrücken läßt durch $J(\rho) = 2 \pi \cdot (1-\cos \rho)$, gilt für die Dichte einer Lagerung von n kongruenten Kreisen: $\delta_n = \frac{n \cdot J(\rho)}{4\pi} = \frac{n}{2} \cdot (1-\cos \rho)$. Da wir nur Lagerungen kongruenter Kreise betrachten, so vereinbaren wir, daß eine '' Unterdeckung vom Radius r '' stets eine Unterdeckung der Sphäre durch kongruente Kreise vom Radius r sei und daß eine '' Überdeckung vom Radius R '' stets eine Überdeckung der Sphäre durch kongruente Kreise vom Radius R sei. Wir suchen nun also zu jeder natürlichen Zahl $n [>2]$ die Unterdeckung der Sphäre durch n kongruente Kreise mit größtmöglichem Radius und größtmöglicher Dichte. Weiters suchen wir zu jedem n die bestmögliche (optimale) Überdeckung der Sphäre, das heißt die Überdeckung mit kleinstmöglichem Radius und kleinstmöglicher Dichte. Den Radius der optimalen Unterdeckung bezeichnen wir mit $r_n$, und ihre die Dichte mit $d_n$ [sie ist klarerweise stets $< 1$]. Den Radius der optimalen Überdeckung bezeichnen wir mit $R_n$ und ihre die Dichte mit $D_n$ [sie ist klarerweise stets $> 1$]. Obwohl die Probleme zueinander dual sind, wurde vor allem das Unterdeckungsproblem untersucht; auch wir wollen uns vor allem mit ihm beschäftigen. Auf einen Zusammenhang des Unterdeckungsproblemes mit Fragen der Informationstheorie hat v.d. Waerden [95] hingewiesen.