Aus der Polyedergeometrie

Bevor wir uns mit Lagerungsproblemen befassen können, müssen wir uns zunächst mit einigen Ergebnissen der Polyedergeometrie vertraut machen. Eine Menge heißt konvex, wenn in ihr mit je zwei Punkten auch stets deren Verbindungsstrecke enthalten ist. Konvexe Mengen, die kompakt sind und ein nichtleeres Inneres besitzen, heißen konvexe Körper. Unter einem konvexen Polytop P verstehen wir einen Durchschnitt von endlich vielen Halbräumen $H_i$, die bis auf Permutationen eindeutig bestimmt sind. Es ist dann:

$${\mathit P} = \cap_{i=1}^m H_i$$

Hat der einbettende Raumes die Dimension 2, so sprechen wir von Polygonen, hat er die Dimension 3, sprechen wir von Polyedern.
Zu jedem Polytop gibt es ein duales Polytop. Das zu einem Polytop ${\mathit P}$ duale Polytop ${\mathit P}^*$ entsteht als Schnitt der Halbräume $H'_i := \{{\mathbf x} : P_i \cdot {\mathbf x} \leq 1 \}$, die zu den Ecken von $P$ in Bezug auf die Sphäre $S^{d-1}$ ' polar' sind: ${\mathit P}^* = \cap_{i=1}^m H_i'$. Analytisch läßt sich das duale Polytop beschreiben durch:

$${\mathit P}^* = \{ {\mathbf x} \in {\rm I\mkern-3mu R}^d :... ...mathbf y} \leq 1 \; \forall {\mathbf y} \in {\mathit P} \}$$

Mit $\{P_1,..,P_m \}$ bezeichnen wir hier die Eckpunkte von P; weiters wird mit $P_i$ auch der zum Punkt $P_i$ gehörige Ortvektor bezeichnet.
Es gilt, daß das duale Polyeder eines Polyeders mit e Ecken und f Flächen stets ein f-eckiges und e-flächiges Polyeder ist.
Die obige Dualitätsdefinition kann wörtlich auf die Menge ${\mathcal K}$ der konvexen Körper übertragen werden. Es sind duale Mengen konvexer Körper stets wieder konvexe Körper und es gilt [51]:

$${\mathit K}^{**} = ({\mathit K}^*)^* = {\mathit K} \; \forall {\mathit K} \in {\mathcal K}$$

Wir betrachten nun eine endliche Anzahl von Halbkugeln auf der Sphäre. Besitzt ihr Durchschnitt Q innere Punkte, so heißt Q konvexes sphärisches Vieleck, bzw. konvexes sphärisches Polygon. Der Flächeninhalt eines konvexen, sphärischen n-Eckes mit Winkeln $\alpha_1,..,\alpha_n$ ist gegeben durch $\alpha_1 +..+ \alpha_n - (n-2) \cdot \pi$. Daher ist der Flächeninhalt eines Dreiecks auf der Einheitskugel mit den Winkeln $\alpha$,$\beta$,$\gamma$ gegeben durch $\alpha + \beta + \gamma - \pi$. Ist ein konvexes Polyeder P des ${\rm I\mkern-3mu R}^3$ mit f Flächen, k Kanten und e Ecken gegeben, so können wir um jeden inneren Punkt ${\mathit O}$ eine Einheitskugel schlagen und die Flächen des Polyeders auf die Kugeloberfläche projizieren. So erhalten wir auf der Kugeloberfläche sphärische Vielecke, die diese schlicht überdecken: jeder Punkt der Sphäre liegt im Inneren von höchstens einem und in der abgeschlossenen Hülle von mindestens einem Vieleck dieser Projektion. Eine schlichte Überdeckung der Kugel durch Polygone heißt auch Mosaik. Wir wenden nun die obige Flächeninhaltsformel für sphärische konvexe n-Ecke auf jedes Vieleck der Projektion an und summieren über alle Vielecke.
Da die Kugeloberfläche [$4 \cdot \pi$] gleich groß ist wie die Summe der Projektionsflächen [das ist $2\pi \cdot \mathit{e}-2\pi \cdot \mathit{3k}+2 \pi \cdot \mathit{f}$], erhalten wir die Euler'sche Polyederformel

$$\mathit{f} + \mathit{e} = \mathit{k}+ 2.$$ (1.1)

In jedem Polyeder ist $3 \mathit{f} \leq 2 \mathit{k}$, und $3 \mathit{e} \leq 2 \mathit{k}$, da jede Fläche von mindesten drei Kanten begrenzt ist, und in jeder Ecke mindestens drei Kanten zusammentreffen. Dabei wird insgesamt jede Kante doppelt gezählt. Aus der Euler'schen Formel und aus diesen Ungleichungen folgt: ${\mathit k}+6 \leq 3{\mathit f} \leq 2{\mathit k}$ und ${\mathit k}+6 \leq 3{\mathit e} \leq 2{\mathit k}$. Bezeichnet $p = 2{\mathit k}/{\mathit f}$ die mittlere Seitenanzahl einer Fläche und bezeichnet $q = 2{\mathit k}/{\mathit e}$ mittlere Kantenanzahl einer Ecke, so gelten die Ungleichungen:

$$p \leq 6 - 12/{\mathit f} < 6$$ (1.2)

$$q \leq 6 - 12/{\mathit e} < 6$$ (1.3)

$$1/p + 1/q < 1/2.$$ (1.4)

Eine Polyederfläche wollen wir regelmäßig nennen, wenn sie durch ein reguläres Polygon, d.i. ein Polygon mit gleich großen Winkeln und gleich großen Seiten, gebildet wird. Eine Ecke nennen wir regulär, wenn aus einer Kugel um diese Ecke, die weder auf ihrem Rand noch in ihrem Inneren weitere Polyederecken enthält, durch die angrenzenden Seitenflächen stets ein reguläres sphärisches Polygon herausgeschnitten wird. Besitzt ein Polyeder nur reguläre Ecken und nur reguläre Flächen , so sprechen wir von einem regulären Polyeder oder Platonischen Körper. Diesen Körpern schreibt Plato in seiner ''Ideenlehre'' - als Muster der Vollendung - besondere Eigenschaften zu.
Da bei ihnen alle Flächen regulär sind, müssen alle Flächen gleich viele Ecken besitzen; analogerweise treffen sich in jeder Ecke gleich viele Kanten. Daher wird ein platonischer Körper, bei dem jede Fläche p die Ecken und jede Ecke q Kanten besitzt, üblicherweise mit dem Symbol p,q bezeichnet.

Wegen $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} < \frac{1}{2}$ gibt es im ${\rm I\mkern-3mu R}^3$ nur folgende reguläre Körper :

reguläres	Tetraeder	{3,3}
reguläres	Hexaeder (Würfel)	{3,4}
reguläres	Ikosaeder	{3,5}
reguläres	Oktaeder	{4,3}
reguläres	Pentagon-Dodekaeder	{5,3}

Auch die Dualkörper der regulären Körper sind regulär, da durch die Dualitätstransformation aus regulären Flächen reguläre Ecken und aus regulären Ecken reguläre Flächen werden. Es gilt: Das Tetraeder ist sein eigener Dualkörper, der Würfel ist der Dualkörper der Oktaeders, das Oktaeder ist der Dualkörper der Würfels, das Ikosaeder ist der Dualkörper des Pentagon-Dodekadeders und das Pentagon-Dodekaeder ist der Dualkörper des Ikosaeders.
Als nächste Klasse bieten sich zur Untersuchung die Polyeder an, die entweder nur reguläre Flächen oder nur reguläre Ecken besitzen. Von größerem Interesse sind für uns die Polyeder mit regulären Flächen.
Sind ihre Ecken zueinander kongruent, so heißen sie Archimedische Körper und werden üblicherweise mit (i,j,k,..) bezeichnet. Diese Schreibweise besagt, daß in einer Ecke ein i-, dann ein j-, dann ein k-Eck usw. zusammentreffen. [Die Struktur der Flächen, die sich um eine Ecke gruppieren, ist überall gleich.]
Die meisten Archimedischen Körper kann man aus den Platonischen dadurch konstruieren, daß man die Ecken in geeigneter Weise '' kappt'' . Einen Überblick über die in ${\rm I\mkern-3mu R}^3$ vorhandenen Archimedischen Körper gibt die folgende Tabelle, die nur die 15 nichtentarteten Fälle enthält [30]:

$\begin{tabular}{l\vert r\vert r\vert r\vert l} Bezeichnung & {\it e} & {\it f... ... \\ (3,3,3,3,5) & 60 & 92 &150 & abgeschr\uml {a}gtes Dodekaeder \end{tabular}$

[abg. ='' abgestumpftes '' , arch. = '' archimedisches '']
Die Klasse der halbregulären Körper mit regulären Ecken (sie enthält z.B. das Rhombendodekaeder) entsteht durch Dualitiätstransformation aus der Klasse der Archimedischen Körper.
Sind auf einer Sphäre n Punkte $\{P_1,..,P_n\}$ gegeben, so können wir aus ihnen unter anderem auf folgende zwei Arten Polyeder konstruieren:

• Wir bilden die konvexe Hülle $conv \{P_1,..,P_n\}$, dh. die Menge
  
  $${\mathit P} = \{{\mathbf x} \in {\rm I\mkern-3mu R}^d : {\m... ...\; \mathtt {und} \; 0 \leq \lambda_i \leq 1 \; \forall i\}.$$
  
  
  
  Die konvexe Hülle $\mathit{P}= \mathtt{conv} \{P_1,..,P_n\}$ ist bekanntlich [51] die kleinste konvexe Menge, die $\{P_1,..,P_n\}$ enthält und ist in unserem Fall - da alle Punkte auf der Kugel liegen - stets der Kugel einbeschrieben. Zerlegen wir das so erhaltene Polyeder durch Diagonalen in Dreiecke und projizieren wir dieses Dreickspolyeder auf die Kugel, so entsteht das n-eckige Mosaik der Standardtriangulierung der Kugeloberfläche in zulässige Dreiecke [ s. I.3].
• Wir legen durch jeden Punkt der Menge $\{P_1,..,P_n\}$ die Tangentialebene an die Kugel. Die Ebenen zerlegen den umgebenden Raum in Halbräume, von denen wir diejenigen miteinander schneiden, die den Kugelmittelpunkt enthalten. Das so erhaltene Polyeder, das wir den Tangentialkörper nennen wollen, ist stets der Kugel umschrieben.
  Projizieren wir das Tangentialpolyeder auf die Kugeloberfläche, so entsteht die Zerlegung der Sphäre in die Dirichlet'schen Zellen der Punkte $\{P_1,..,P_n\}$. Die Dirichlet'sche Zelle eines Punktes P aus dieser Menge ist dabei definiert als die Menge aller Punkte der Kugeloberfläche, deren Abstand zu diesem Punkt kleiner ist als der Abstand zu irgend einem anderen Punkt der Punktmenge $\{P_1,..,P_n\}$.
  Die Zerlegung in Dirichlet'sche Zellen kann man stets als Dreikantmosaik auffassen.