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Auf der
sei eine n-elementige Punktmenge
gegeben.
sei eine Kugelkappe.
In dieser Definition bezeichnet
allerdings nicht den
Scheitelpunkt der Kappe, sondern dessen Antipode; und auch der
Normalabstand t der Kappe vom Mittelpunkt der Kugel wird in der
von der Kappe wegweisenden Richtung gemessen. Daher ist für
eine Kappe im üblichen Sinn der Wert von t stets negativ.
Wir können nun auf der Sphäre in natürlicher Weise folgende
Maße einführen:
(i) das Zählmaß
und
(ii) das ''Oberflächenmaß''
Mit
wollen wir im weiteren stets das normierte
Oberflächenmaß
bezeichnen.
Durch diese beiden Maße erhalten wir, analog zu (1.2) eine
Diskrepanz
,
die '' Kugelkappendiskrepanz'' heißt [3].
Für den Betrag dieser Diskrepanz wollen wir nun obere und
untere Schranken berechen.
Dazu sei
die charakteristische Funktion einer Vollkugel
mit Radius r und Mittelpunkt
. Unter
verstehen wir das Faltungsprodukt auf
, das so definiert ist:
Weiters brauchen wir im folgenden stets die Funktion
:
 |
(2.6) |
Um Aussagen über die Diskrepanz treffen zu können, geht man so vor, daß man
das Integral
abschätzt und anschließend durch das zugehörige Maximum ersetzt.
schneidet aus der Sphäre
eine Kugelkappe
heraus. Bezeichnen wir mit x den Betrag von
, so sind die
Kappenparameter:
und
.
Diese Parameterwerte erhält man aus folgender Überlegung:
ist der von
wegweisende Schnittpunkt der Sphäre mit
der Geraden
, die
mit dem Ursprung (das sei der Mittelpunkt
der Sphäre) verbindet.
Für t benötigen wir folgende Überlegung:
Es sei
und
sei der Lotpunkt von
auf
. Dann sind die Winkel
und
rechte Winkel. Auf die beiden rechtwinkeligen Dreiecke
und
wenden wir nun den Satz von Pythagoras an und beachten, daß gilt:
,
,
und
.
Wir erhalten das Ergebnis:
,
aus dem die Formel für t folgt.
Nun betrachten wir zwei Sonderfälle:
Für
liegt die Kugel
vollständig im
Komplement von
. Das heißt, daß der Schnitt leer ist und
daß daher
für
ist.
Ist umgekehrt
, so ist
vollständig in
enthalten. Dann ist
und es gilt:
und
Daher ist
auch für
ident Null.
Die soeben durchgeführten Überlegungen wenden wir nun auf
an und erhalten:
Da
nur von
abhängt und sich auf ganz
bewegt, ist
.
Weiters ist t nur abhängig von
und r.
Daher ist das bisherige Integral gleich:
Betrachtet man
nur als Funktion von x [=
], so
kann man folgende Transformation durchführen :
da wegen
gilt:
Dieses Integral ist ( wegen
)
kleiner gleich:
da das angegebene Infimum stets
ist [3].
Wir führen nun für zwei Funktionen f und g das Symbol
ein:
 |
(2.7) |
Damit können wir die bisherigen Rechnungen zusammenfassen in:
Mit Hilfe von Fouriertransformierten kann man zeigen [2],[3], daß gilt:
Daher können wir die Diskrepanz abschätzen durch:
Da man ein Mittel nach oben stets durch das zugehörige
Maximum abschätzen kann, folgt der Satz:
Es gibt zu jeder Menge
von n Punkten auf der Kugel eine sphärische Kappe
, für die gilt:
=
 |
(2.8) |
[Tatsächlich ist
nur abhängig von t, da nur dieser Parameter
Einfluß auf die Oberfläche der Kappe hat. Beck notiert deswegen
anstelle von
stets
.]
Um
in die andere Richtung abschätzen zu können,
führte Beck in [3] eine wichtige wahrscheinlichkeitstheoretische
Methode ein, die nun erläutert werden soll.
Dazu führen wir Polarkoordinaten ein, zum Beispiel so:
Bezeichnet
einen Punkt der
, so setzen wir:
Dabei bewegen sich Polarkoordinaten zwischen :
Als nächstes zerlegen wir die
in n Koordinatenkästchen
der Form
. Man kann [3] die
Kästchen so wählen, daß gilt:
 |
(2.9) |
[Unter diam Q ist der Durchmesser von Q zu verstehen.]
Aus jedem Bereich
wählen wir gleichmäßig und unabhängig
voneinander einen Zufallspunkt
aus. Das bedeutet, daß die
unabhängige Auswahl so erfolgt, daß für jede meßbare Menge
gilt:
Auf diese Weise erhalten wir eine Menge
von n Punkten auf
der Kugel, deren Diskrepanz
wir nun berechnen.
[
sei eine beliebige aber feste Kappe und unter
verstehen wir die Vereinigung aller Kästchen, die in
liegen.
enthält genau so viele Zufallspunkte, wie der
Erwartungswert angibt. D.h. es ist
.
Weiters sei
die Menge der Indizes jener Bereiche
die am Rand von
zu liegen kommen, dh. jener Kästchen, die
sowohl mit
als auch mit
innere Punkte gemeinsam haben.
Klarerweise liegen in
genau
Kästchen und es ist:
Da der Durchmesser eines jeden Kästchens
ist,
können auf einem ''Breitenkreis'' höchstens
''Kreisumfang''/ ''Kästchendurchmesser'' Kästchen liegen.
Aus dieser Überlegung folgt,
daß
sein muß [3].
Für die Randmenge
definieren wir eine
Zufallsvariable
:
Mit dieser Zufallsvariablen können wir die folgenden
Umformungen vornehmen. Dabei beachten wir, daß gilt:
Es gilt also:
Zusammenfassend ergibt sich:
 |
(2.10) |
Mit der Abkürzung
schreibt sich diese
Gleichung an als
, wobei über
zu summieren ist.
Da die Auswahl der
unabhängig voneinander erfolgte, sind
auch
und
unabhängige Zufallsvariablen.
Daher gilt
Daraus erhält man:
Damit ist:
 |
(2.11) |
Da der Erwartungswert als ein gewichtetes Mittel aufgefaßt
werden kann, daher folgt aus (8) unmittelbar die Existenz einer
Kappe
, die diese Abschätzung erfüllt.
Auf
können wir aber auch folgendes Lemma [eine
Bernstein-Chernoff-Ungleichung] anwenden [3]:
Es seien
unabhängige Zufallsvariablen mit Betrag
und es sei
.
Dann ist:
 |
(2.12) |
Daraus erhält man den folgenden Satz ([3], Theorem 24D) ( vgl. mit (5) ):
Für jede Menge
von n Punkten auf der
gibt es eine sphärische Kappe
und eine Konstante
sodaß gilt:
 |
(2.13) |
Mit der Kugelkappendiskrepanz verwandt ist die Spaltendiskrepanz.
Sie verwendet an der Stelle von Kugelkappen Spalten (slices), das sind
Schnitte zweier Großkreisbögen, also Kugelzweiecke. Der Autor in [7]
beweist, daß diese Diskrepanz durch die Kugelkappendiskrepanz abgeschätzt
werden kann, und daß daher dieselben Abschätzungen wie bei dieser gelten.
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2004-03-25