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Im vorigen Paragraphen fanden wir für zwei Werte von n die
optimalen Anordnungen in den Ecken eines halbregulären Körpers.
Die Erweiterung der dort angewandten Methode auf Graphen,
die auch Fünfecke besitzen, wird dadurch kompliziert, daß
einerseits für m-Ecke mit der Formelapparat stark anwächst
und andererseits isolierte Punkte auftreten können.
Interessierte seien auf den ersten Teil der Danzer'schen
Habilitationsschrift [24] verwiesen, die eine Auflistung von
Eigenschaften 'zulässiger' Fünfecke enthält.
Eine andere Möglichkeit, das Graphensystem zu untersuchen,
ist die, die Punkte nach ihrem Grad zu sortieren. Wie wir
bereits wissen, können wir in einem irreduziblen Graphen Punkte
vom Grad 1 und 2 ausschließen, nicht hingegen isolierte Punkte.
K.Bezdek, R.Connelly und G.Kertész zeigten in [4], daß der
durchschnittliche Grad einer Ecke gleich 5 ist. Robinson stellte
sich die Frage, wie Graphen aussehen müssen, bei denen alle
Ecken den Grad 5 haben [71]:
Wir nehmen an, daß die Sphäre durch ein Netz gleichseitiger
Polygone zerlegt werde. Jedes Polygon habe Seitenlänge 2r und
Diagonalen größer 2r. Außerdem sollen sich in jedem Eckpunkt
genau fünf Polygone treffen, deren Winkel alle größer sein
müssen, wie man [71] entnimmt.
Da alle auftretenden Polygone gleichseitig sind, müssen alle
Dreiecke in diesen Graphen sogar regulär sein. Wir bezeichnen
mit den Winkel eines gleichseitigen sphärischen Dreieckes
mit Seitenlänge 2r.
Vierecke können, da sie gleichseitig sind, nur als Rhomben
auftreten, bei denen die gegenüberliegenden Winkel gleich groß
sind. Weiters ist bei den auftretenden Vierecken die Summe
zweier benachbarter Winkel stets .
Bei Fünfecken gibt es mehrere Möglichkeiten, aber generell
gilt, daß auch bei ihnen die Summe zweier benachbarter Winkel
sein muß [71].
Da sich in jeder Ecke fünf Winkel treffen, ist der größte
Winkel, der im Polygonnetz auftreten kann, gleich
.
Sind in einer Ecke zwei Nicht-Dreiecke benachbart, das heißt,
haben sie eine gemeinsame Kante, so verbrauchen ihre Winkel
zusammen mehr als . Den restlichen drei Winkeln bleibt dann
weniger als übrig. Das bedeutet aber, daß zumindest ein
Winkel kleiner sein muß. Somit kann dieser Fall niemals
eintreten.
Es bleiben noch folgende Fälle zu unterscheiden:
- In jeder Ecke treffen sich nur Dreiecke.
- In jeder Ecke gibt es genau ein Nichtdreieck.
- In jeder Ecke gibt es genau zwei Nichtdreiecke.
Im ersten Fall muß
sein, und wir erhalten das Netz
eines Ikosaeders. Im zweiten Fall ist der Winkel des Nichtdreieckes gleich
und im dritten Fall addieren sich die Winkel der beiden
Nichtdreiecke, die nicht benachbart sein können, zu .
Da
ist, muß im letzten Fall zumindest ein
spitzer Winkel auftreten; dies schließt aber Fünfecke aus [71].
Durch genauere Fallunterscheidungen kam Robinson zu dem
Ergebnis, daß es nur für n = 12, 24, 48, 60 und 120 Graphen mit
festem Punktgrad fünf gibt [71].
Für festen Punktgrad drei oder vier ist diese Aufgabe nicht
lösbar; Beispiele finden sich in [71].
Für die Lösungen der gestellten Aufgabe gibt Robinson auch
Konstruktionsmethoden an, die nicht unerwähnt bleiben sollen:
Ausgangspunkt für die erste Methode ist das Mosaik
[k = 3,4,5] bei dem sich in jedem Punkt drei k-Ecke treffen.
Wenn wir die Seiten des Mosaikes ''schrumpfen'' lassen und zwischen
ihnen Quadrate einfügen, erhalten wir das Archimedische Mosaik (k,4,3,4).
Werden die Quadrate durch abwechselnde Diagonalen zerlegt und
wird das gesamte Mosaik gedehnt, um die Kanten gleicher Länge
zu erhalten, so entsteht das Archimedische Mosaik (k,3,3,3,3).
Genaugenommen gewinnen wir dieses Mosaik, indem wir in
die k-Ecke durch k-Ecke, die Kanten durch Dreieckspaare und die
Ecken durch Dreiecke ersetzen. Es enthält folgende Teilgraphen:
Eine andere Konstruktionsmethode besteht darin, in die
Mittelpunkte aufeinanderfolgender Kanten zu verbinden. Dies
gibt an der Stelle der bisherigen Ecken kleinere k-Ecke sowie
Dreiecke. So entsteht das Archimedische Mosaik (k,3,k,3).
Werden die k-Ecke so gestaucht, daß die Dreiecke zu Sechsecken werden,
dann erhalten wir wiederum ein Archmidisches Mosaik, und zwar (k,6,6).
Nun zerlegen und verschieben wir die Sechsecke in die Form
der folgenden Skizze. Dieses Ergebnis erhalten auch aus
in dem wir k-Ecke durch k-Ecke, Kanten durch Rhomben und Ecken
durch Blöcke von sieben Dreiecke in dieser Form ersetzen:
(Die ursprünglichen Sechsecke sind strichliert eingezeichnet.)
Diese Konfiguration hat zwei Ecktypen, einen mit großem
Rhombuswinkel und vier Dreiecken und einen, der aus einem k-Eck,
einem Dreieck, dem kleinen Rhombuswinkel und zwei Dreiecken besteht.
Alle voranstehenden Lagerungen weisen einen hohen Grad an
Symmetrie auf. Deshalb liegt es auf der Hand,
Konstruktionsprinzipien zu suchen, die auf solche Symmetrien Bezug nehmen.
Als typische Beispiele dazu seien die Molnár'sche
Axialsymmetriemethode [66] sowie der Begriff des Kreiskranzes erwähnt,
den Strohmajer [80] eingeführt hat: Ein Kreiskranz besteht aus
2k zyklisch angeordneten Kreisen, bei denen ein jeder zwei
Nachbarkreise berührt, und deren Mittelpunkt abwechselnd auf
dem einen und dem anderen von zwei parallelen Kugelkreisen
liegen. Auf jedem dieser Kugelkreise bestimmen die Mittelpunkte
der zum Kranz gehörigen Kreise ein reguläres n-Eck.
Tarnai [85], [86], [92] erweiterte die obige
Konstruktionsmethode, um Packungen oktaedrischer oder ikoadedrischer
Symmetrie zu erhalten. Seine Überlegung ist folgende :
Ein polyedrisches Netz mit ikosaedrischer Symmetrie kann aus
einem ebenen Dreiecksnetz gefaltet werden. Diese Faltung kann
z.B. so geschehen, daß man sich das (ebene) reguläres Mosaik
vorgibt, das die Ebene sowohl unter- und auch überdeckt.
Dann gehe man von einer Ecke A aus entlang einer Kante in eine
Richtung, bis b Ecken passiert wurden, wende um und folge
der neuen Kante c Ecken lang bis zu einem Zielpunkt B.
Der Anfangspunkt A und der Endpunkt B bestimmen ein gerades
Linienelement, das als Kante eines ''großen'' gleichseitigen
Dreieckes angesehen werden kann. Durch dieses große Dreieck
wird wiederum ein reguläres, ebenes Mosaik 3,6 definiert, in
dem jeder auftretende Eckpunkt zugleich eine Ecke des ursprünglichen
Mosaikes ist. Das Eckennetz des Ikosaeders ist durch das
Eckennetz des ''großen'' Dreieckes gegeben. Aufgrund der
Rotationssymmetrie des durch das ursprüngliche Mosaik erweiterten
''großen'' Mosaikes, wird ein ''kleines'' Mosaik auf der
Ikosaederoberfläche erhalten.
Diese Konstruktion wird (wie bei Coxeter [21]) mit
bezeichnet. Die Schreibweise impliziert, daß in dem Dreiecksmosaik
fünf oder mehr (dh. sechs) Dreiecke in einem Eckpunkt
zusammentreffen.
In ähnlicher Weise erhält man ein reguläres Oktaedermosaik
und ein Tetraedermosaik
.
Nun müssen wir nur noch unsere Mosaike p,q+
[p=3, q=3,4,5,
,
] auf die
Kugeloberfläche ''aufblasen'', und verlieren dadurch normalerweise die
Gleicheit der Kantenlängen.
Die Art des ''Aufblasens'' ist jedoch nicht genau festgelegt, und
so kann man einige Kanten auswählen, deren sphärisches Bild auf
der Kugel gleiche Länge haben soll. Geschieht die Auswahl
sorgfältig, so kann das sphärische Gebilde als Graph des
Unterdeckungsproblemes angesehen werden [86].
Auch bei Robinson entstanden derartige Mosaike:
für n = 12, 24, 60
sowie
für n = 24,48,120.
[q variiert zwischen 3,4 und 5.].
Tarnai konstruierte [85] auf diese Weise eine
Unterdeckung für n = 180 [
]; auch konnte er
bestehende Lagerungen verbessern [86], [92].
Die Eckenanzahl V eines Mosaikes
kann man laut
Coxeter [21] ausdrücken durch :
.
Die Eckenanzahl des Mosaikes, das dadurch entsteht, daß man aus
der Konstruktion
die Ecken des Basispolyeders
entfernt, ist:
Dabei nennt man
die ''Triangulierungsnummer''.
Setzt man in diese Formeln spezielle Werte für b und c ein,
so sieht man, daß diese Methode Konstruktionen für viele
geradzahlige n liefert. [von 2-100 fehlen nur 46, 62, 68, 82, 90]
E. Székely hat in Zusammenarbeit mit A. Karabinta die
'' Spiralmethode '' entwickelt [44], [82]. Ihre Vorgangsweise ist die:
Es sei der Durchmesser eines Kreises des gesuchten
Lagerung und (k = 3,4,5,6,7) seien die Ecken eins
regulären sphärischen k-Eckes. Um diese Eckpunkte schlagen wir
Kreise mit Radius .
Diese Kreise bilden die erste Kreisschicht, dh. jeder dieser
Kreise steht am Beginn eines Spiralarmes. Ist die l-te
Kreisschicht bereits vorhanden, so konstruieren wir die (l+1)-te
Schicht folgendermaßen:
Wir nehmen einen Spiralarm mit zugehörigem [l-ten] Kreis. Auf
diesen Arm zeichnen wir, falls es möglich ist, einen Kreis mit
Radius , der den l-ten Kreis und wenigstens einen Kreis eines
benachbarten Spiralarmes berührt, der aber mit keinem bereits
konstruierten Kreis innere Punkte gemeinsam haben darf.
Eine genaue Untersuchung und Klassifikation der möglichen
Spiraltypen findet sich in [82].
Folgendes Bild zeigt eine derartige Lagerung von 35 Punkten:
Eine [etwas theoretische] Methode ist in [4] erwähnt. Sie
besteht darin, einen Graphen aus verschiedenen (''starren'',
s. I.6) Teilgraphen, die alle aus höchstens einem Viereck
und ansonsten nur aus Dreiecken bestehen, zusammenzukleben. Die
einzelnen Winkel der Teilgraphen werden dabei mit + und - versehen,
je nachdem ob sie größer oder kleiner als der euklidische
Grenzwinkel [= ] sind.
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2004-03-25