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Symmetrische Lagerungen, Konstruktionen

Im vorigen Paragraphen fanden wir für zwei Werte von n die optimalen Anordnungen in den Ecken eines halbregulären Körpers.
Die Erweiterung der dort angewandten Methode auf Graphen, die auch Fünfecke besitzen, wird dadurch kompliziert, daß einerseits für m-Ecke mit $m \geq 5$ der Formelapparat stark anwächst und andererseits isolierte Punkte auftreten können. Interessierte seien auf den ersten Teil der Danzer'schen Habilitationsschrift [24] verwiesen, die eine Auflistung von Eigenschaften 'zulässiger' Fünfecke enthält.
Eine andere Möglichkeit, das Graphensystem zu untersuchen, ist die, die Punkte nach ihrem Grad zu sortieren. Wie wir bereits wissen, können wir in einem irreduziblen Graphen Punkte vom Grad 1 und 2 ausschließen, nicht hingegen isolierte Punkte.
K.Bezdek, R.Connelly und G.Kertész zeigten in [4], daß der durchschnittliche Grad einer Ecke gleich 5 ist. Robinson stellte sich die Frage, wie Graphen aussehen müssen, bei denen alle Ecken den Grad 5 haben [71]:
Wir nehmen an, daß die Sphäre durch ein Netz gleichseitiger Polygone zerlegt werde. Jedes Polygon habe Seitenlänge 2r und Diagonalen größer 2r. Außerdem sollen sich in jedem Eckpunkt genau fünf Polygone treffen, deren Winkel alle größer $60^\circ$ sein müssen, wie man [71] entnimmt.
Da alle auftretenden Polygone gleichseitig sind, müssen alle Dreiecke in diesen Graphen sogar regulär sein. Wir bezeichnen mit $\rho_r$ den Winkel eines gleichseitigen sphärischen Dreieckes mit Seitenlänge 2r.
Vierecke können, da sie gleichseitig sind, nur als Rhomben auftreten, bei denen die gegenüberliegenden Winkel gleich groß sind. Weiters ist bei den auftretenden Vierecken die Summe zweier benachbarter Winkel stets $ > 180^\circ$.
Bei Fünfecken gibt es mehrere Möglichkeiten, aber generell gilt, daß auch bei ihnen die Summe zweier benachbarter Winkel $ > 180^\circ$ sein muß [71].
Da sich in jeder Ecke fünf Winkel treffen, ist der größte Winkel, der im Polygonnetz auftreten kann, gleich $2\pi-4\rho_r < 120^\circ$. Sind in einer Ecke zwei Nicht-Dreiecke benachbart, das heißt, haben sie eine gemeinsame Kante, so verbrauchen ihre Winkel zusammen mehr als $180^\circ$. Den restlichen drei Winkeln bleibt dann weniger als $180^\circ$ übrig. Das bedeutet aber, daß zumindest ein Winkel kleiner $60^\circ$ sein muß. Somit kann dieser Fall niemals eintreten.
Es bleiben noch folgende Fälle zu unterscheiden: Im ersten Fall muß $\rho_r = 72^\circ$ sein, und wir erhalten das Netz eines Ikosaeders. Im zweiten Fall ist der Winkel des Nichtdreieckes gleich $2\pi-4\rho_r$ und im dritten Fall addieren sich die Winkel der beiden Nichtdreiecke, die nicht benachbart sein können, zu $2\pi-3\rho_r$.
Da $2\pi-3\rho_r < 180^\circ$ ist, muß im letzten Fall zumindest ein spitzer Winkel auftreten; dies schließt aber Fünfecke aus [71].
Durch genauere Fallunterscheidungen kam Robinson zu dem Ergebnis, daß es nur für n = 12, 24, 48, 60 und 120 Graphen mit festem Punktgrad fünf gibt [71].
Für festen Punktgrad drei oder vier ist diese Aufgabe nicht lösbar; Beispiele finden sich in [71].
Für die Lösungen der gestellten Aufgabe gibt Robinson auch Konstruktionsmethoden an, die nicht unerwähnt bleiben sollen:
Ausgangspunkt für die erste Methode ist das Mosaik $\{k,3\}$ [k = 3,4,5] bei dem sich in jedem Punkt drei k-Ecke treffen.
Wenn wir die Seiten des Mosaikes ''schrumpfen'' lassen und zwischen ihnen Quadrate einfügen, erhalten wir das Archimedische Mosaik (k,4,3,4).
Werden die Quadrate durch abwechselnde Diagonalen zerlegt und wird das gesamte Mosaik gedehnt, um die Kanten gleicher Länge zu erhalten, so entsteht das Archimedische Mosaik (k,3,3,3,3).
Genaugenommen gewinnen wir dieses Mosaik, indem wir in $\{k,3\}$ die k-Ecke durch k-Ecke, die Kanten durch Dreieckspaare und die Ecken durch Dreiecke ersetzen. Es enthält folgende Teilgraphen:
Eine andere Konstruktionsmethode besteht darin, in $\{k,3\}$ die Mittelpunkte aufeinanderfolgender Kanten zu verbinden. Dies gibt an der Stelle der bisherigen Ecken kleinere k-Ecke sowie Dreiecke. So entsteht das Archimedische Mosaik (k,3,k,3).
Werden die k-Ecke so gestaucht, daß die Dreiecke zu Sechsecken werden, dann erhalten wir wiederum ein Archmidisches Mosaik, und zwar (k,6,6).
Nun zerlegen und verschieben wir die Sechsecke in die Form der folgenden Skizze. Dieses Ergebnis erhalten auch aus $\{k,3\}$ in dem wir k-Ecke durch k-Ecke, Kanten durch Rhomben und Ecken durch Blöcke von sieben Dreiecke in dieser Form ersetzen:
(Die ursprünglichen Sechsecke sind strichliert eingezeichnet.)
Diese Konfiguration hat zwei Ecktypen, einen mit großem Rhombuswinkel und vier Dreiecken und einen, der aus einem k-Eck, einem Dreieck, dem kleinen Rhombuswinkel und zwei Dreiecken besteht.



Alle voranstehenden Lagerungen weisen einen hohen Grad an Symmetrie auf. Deshalb liegt es auf der Hand, Konstruktionsprinzipien zu suchen, die auf solche Symmetrien Bezug nehmen.
Als typische Beispiele dazu seien die Molnár'sche Axialsymmetriemethode [66] sowie der Begriff des Kreiskranzes erwähnt, den Strohmajer [80] eingeführt hat: Ein Kreiskranz besteht aus 2k zyklisch angeordneten Kreisen, bei denen ein jeder zwei Nachbarkreise berührt, und deren Mittelpunkt abwechselnd auf dem einen und dem anderen von zwei parallelen Kugelkreisen liegen. Auf jedem dieser Kugelkreise bestimmen die Mittelpunkte der zum Kranz gehörigen Kreise ein reguläres n-Eck.



Tarnai [85], [86], [92] erweiterte die obige Konstruktionsmethode, um Packungen oktaedrischer oder ikoadedrischer Symmetrie zu erhalten. Seine Überlegung ist folgende :
Ein polyedrisches Netz mit ikosaedrischer Symmetrie kann aus einem ebenen Dreiecksnetz gefaltet werden. Diese Faltung kann z.B. so geschehen, daß man sich das (ebene) reguläres Mosaik $\{3,6\}$ vorgibt, das die Ebene sowohl unter- und auch überdeckt. Dann gehe man von einer Ecke A aus entlang einer Kante in eine Richtung, bis b Ecken passiert wurden, wende um $60^\circ$ und folge der neuen Kante c Ecken lang bis zu einem Zielpunkt B.
Der Anfangspunkt A und der Endpunkt B bestimmen ein gerades Linienelement, das als Kante eines ''großen'' gleichseitigen Dreieckes angesehen werden kann. Durch dieses große Dreieck wird wiederum ein reguläres, ebenes Mosaik 3,6 definiert, in dem jeder auftretende Eckpunkt zugleich eine Ecke des ursprünglichen Mosaikes ist. Das Eckennetz des Ikosaeders ist durch das Eckennetz des ''großen'' Dreieckes gegeben. Aufgrund der Rotationssymmetrie des durch das ursprüngliche Mosaik erweiterten ''großen'' Mosaikes, wird ein ''kleines'' Mosaik auf der Ikosaederoberfläche erhalten.
Diese Konstruktion wird (wie bei Coxeter [21]) mit $\{3,5+\}_{b,c}$ bezeichnet. Die Schreibweise impliziert, daß in dem Dreiecksmosaik fünf oder mehr (dh. sechs) Dreiecke in einem Eckpunkt zusammentreffen. In ähnlicher Weise erhält man ein reguläres Oktaedermosaik $\{3,4+\}_{b,c}$ und ein Tetraedermosaik $\{3,3+\}_{b,c}$.
Nun müssen wir nur noch unsere Mosaike p,q+ [p=3, q=3,4,5, $b,c \in {\rm I\mkern-3mu N}_0$, $(b,c) \neq (0,0)$] auf die Kugeloberfläche ''aufblasen'', und verlieren dadurch normalerweise die Gleicheit der Kantenlängen.
Die Art des ''Aufblasens'' ist jedoch nicht genau festgelegt, und so kann man einige Kanten auswählen, deren sphärisches Bild auf der Kugel gleiche Länge haben soll. Geschieht die Auswahl sorgfältig, so kann das sphärische Gebilde als Graph des Unterdeckungsproblemes angesehen werden [86].
Auch bei Robinson entstanden derartige Mosaike: $\{3,q+\}_{2,1}$ für n = 12, 24, 60 sowie $\{3,q+\}_{3,1}$ für n = 24,48,120. [q variiert zwischen 3,4 und 5.].
Tarnai konstruierte [85] auf diese Weise eine Unterdeckung für n = 180 [ $\{3,5+\}_{3.2}$]; auch konnte er bestehende Lagerungen verbessern [86], [92].
Die Eckenanzahl V eines Mosaikes $\{p,q+\}_{b,c}$ kann man laut Coxeter [21] ausdrücken durch : $ V = T \cdot [\frac{2q}{6-q}] + 2$.
Die Eckenanzahl des Mosaikes, das dadurch entsteht, daß man aus der Konstruktion $\{p,q+\}_{b,c}$ die Ecken des Basispolyeders $\{p,q\}$ entfernt, ist:

\begin{displaymath}% BAU: grosse KlammerV^* = (T-1) \cdot [\frac{2q}{6-q}]
\end{displaymath}

Dabei nennt man $T = b^2+bc+c^2$ die ''Triangulierungsnummer''.
Setzt man in diese Formeln spezielle Werte für b und c ein, so sieht man, daß diese Methode Konstruktionen für viele geradzahlige n liefert. [von 2-100 fehlen nur 46, 62, 68, 82, 90]
E. Székely hat in Zusammenarbeit mit A. Karabinta die '' Spiralmethode '' entwickelt [44], [82]. Ihre Vorgangsweise ist die:
Es sei $d = 2r_n$ der Durchmesser eines Kreises des gesuchten Lagerung und $O_1,..,O_k$ (k = 3,4,5,6,7) seien die Ecken eins regulären sphärischen k-Eckes. Um diese Eckpunkte schlagen wir Kreise mit Radius $r_n$.
Diese Kreise bilden die erste Kreisschicht, dh. jeder dieser Kreise steht am Beginn eines Spiralarmes. Ist die l-te Kreisschicht bereits vorhanden, so konstruieren wir die (l+1)-te Schicht folgendermaßen:
Wir nehmen einen Spiralarm mit zugehörigem [l-ten] Kreis. Auf diesen Arm zeichnen wir, falls es möglich ist, einen Kreis mit Radius $r_n$, der den l-ten Kreis und wenigstens einen Kreis eines benachbarten Spiralarmes berührt, der aber mit keinem bereits konstruierten Kreis innere Punkte gemeinsam haben darf. Eine genaue Untersuchung und Klassifikation der möglichen Spiraltypen findet sich in [82].
Folgendes Bild zeigt eine derartige Lagerung von 35 Punkten: Eine [etwas theoretische] Methode ist in [4] erwähnt. Sie besteht darin, einen Graphen aus verschiedenen (''starren'', s. I.6) Teilgraphen, die alle aus höchstens einem Viereck und ansonsten nur aus Dreiecken bestehen, zusammenzukleben. Die einzelnen Winkel der Teilgraphen werden dabei mit + und - versehen, je nachdem ob sie größer oder kleiner als der euklidische Grenzwinkel [= $60^\circ$] sind.
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2004-03-25